Sólidos Geométricos

Cuerpos geométricos

Un sólido o cuerpo geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.

Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y Cuerpos Redondos.

A. POLIEDROS

La palabra poliedro proviene del griego y significa muchas caras. Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos (figuras geométricas planas).  Por lo tanto, tienen todas sus caras planas.

Los elementos de un poliedro.

Caras. Son las superficies planas que forman el poliedro, las cuales se interceptan entre sí.

Aristas. Son los lados de los poliedros que limitan las caras.

Vértices. Son los puntos donde se interceptan 3 o más aristas.

Angulo diedro:  Ángulo formado por cada dos caras que se cortan en una arista.

Angulo Poliedro: Ángulo formado por cada tres caras que se cortan en un vértice.

Diagonal: Es una recta que une vértices que pertenecen a caras diferentes

Clases de poliedros. Se distinguen dos clases de poliedros:

· Los poliedros regulares: son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares iguales y coincide el mismo número de ellas en cada vértice.

Existen solo cinco poliedros regulares: Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro. Son llamados poliedros platónicos.

El tetraedro. Compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros. Tiene cuatro vértices y seis aristas.

El cubo. Está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de hexaedro regular. Tiene 8 vértices y 12 aristas.

El octaedro. Está compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de dos pirámides unidas por sus bases. Tiene 6 vértices y 12 aristas.

 El dodecaedro. Compuesto por doce caras con forma de pentágono. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

El icosaedro. Compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene un eje plano hexagonal. Tiene 12 vértices y 30 aristas.

· Los poliedros irregulares: Los poliedros son irregulares cuando los polígonos (figuras geométricas planas) que lo forman, no son todos iguales.

Clasificación de poliedros irregulares: Los poliedros irregulares se clasifican en:

Prisma: Está constituido por dos bases poligonales e iguales y sus caras laterales son paralelogramos. Según el número de lados de la base se le da el nombre al prisma. Por ejemplo, un Prisma pentagonal, sus bases son pentágono.

El prisma es recto cuando su eje es perpendicular a las bases y oblicuo cuando el ángulo entre el eje y la base es diferente a base 90°.

Si el prisma es cortado de tal manera que la sección producida no sea paralela a una de sus bases, recibe el nombre de prisma truncada.

Pirámide. Es una figura tridimensional constituida por una base poligonal y por caras laterales triangulares cuyas aristas concurren a un punto llamado vértice. El eje o altura de la pirámide es la línea que va del vértice al centro de la base.

La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

La pirámide se llama rectangular cuando el eje es perpendicular al centro de la base, en un caso diferente se llama oblicua.

La porción de pirámide comprendida entre la base y la sección producida por un plano que corta sus caras laterales se llama tronco de la pirámide o pirámide truncada.

B. CUERPOS REDONDOS

Son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.

Cilindro. Un cilindro es una superficie cilíndrica que se forma cuando una recta, denominada generatriz, gira alrededor de otra recta paralela, denominada eje.

También lo podemos definir como el cuerpo que se genera cuando un rectángulo gira alrededor de un de sus lados. El cilindro tiene dos bases circulares y una superficie curva.

Elementos del cilindro. Los elementos de un cilindro son: eje, bases, altura y generatriz.

Eje: lado alrededor del cual gira el rectángulo.

Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.

Altura: corresponde al mismo eje; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.

Generatriz: es el lado que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.

 Radio: el radio de los círculos que forman las bases también es el radio del cilindro.

Centro: es el centro de cada una de las bases circulares.

 El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes. 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales. Puedes observar que en el desarrollo en el plano se forma un rectángulo para la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de la circunferencia que forma las bases y la altura o generatriz. 

Cono. Es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. El cono tiene una base circular y una superficie curva.

Elementos del cono.

Eje: es el cateto alrededor del cual gira el triángulo rectángulo.
Base: es el círculo que genera la rotación de la base del triángulo. Por lo tanto, la base del triángulo es el radio del cono.

Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, que genera la región lateral conocida como manto del cono.
Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.
Centro: Es el centro de la base.

Desarrollo del cono.

Esfera. La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

Elementos de la esfera.  Al girar el semicírculo alrededor del diámetro, se genera una superficie esférica donde se determinan los siguientes elementos:

Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica.
Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O.
Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA.
Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB.

La esfera tiene una sola cara curva. Todos los puntos que forman la superficie esférica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al centro de la semicircunferencia que gira.

C. FORMULAS DEL ÁREA Y VOLUMEN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS


En el siguiente cuadro se observan las distintas fórmulas para obtener el área y volumen de los cuerpos geométricos.

Generatriz del cono. Por el teorema de Pitágoras la generatriz del cono será igual a:

g² = h² + r²

donde:

g = generatriz

h = altura

r = radio

D. DESARROLLO DE UN CUERPO GEOMÉTRICO

El desarrollo es el desdoblamiento de un cuerpo geométrico (creado en tres dimensiones) en una superficie plana, de tal forma, que a partir de esa superficie plana, se pueda construir nuevamente el cuerpo geométrico.

Características

Un desarrollo debe estar construido en base a las verdaderas magnitudes tanto de las líneas como de los ángulos que la forman.

Pensando en la posterior construcción de la pieza desarrollada, la superficie se cortará por el elemento de menor medida.

Ejercicios

1. Halla el volumen de este prisma de base hexagonal regular:

2. Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 24 cm de lado y su arista lateral es de 37 cm.

               

3. Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 cm y el radio de su base es de

12 cm.

4. Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 20 cm de lado y su arista lateral es de 29 cm.

          

5. Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:

6. Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:

7. Calcula el volumen de la figura, cuyas longitudes vienen dadas en centímetros.

8. La figura representa una pieza de madera, que hay que recubrir con una capa de pintura. ¿Qué superficie hay que pintar? (Las longitudes vienen expresadas en centímetros.)

Teorema de Thales

TEOREMA    DE THALES

Los Teoremas en matemáticas hacen referencia a aquellas afirmaciones que pueden ser demostradas como verdaderas dentro de un marco lógico. Generalmente, los teoremas están compuestos por un número de condiciones que pueden ser enumeradas a las cuales se les llama respuestas. Enseguida a estas aparecerá la conclusión matemática, la cual será siempre verdadera en las condiciones del trabajo en cuestión, es decir, ante todo en el contenido informativo del teorema, lo que se establecerá es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis, o conclusión del trabajo.

El Primer Teorema de Tales enuncia que si en un triángulo dado se traza un segmento paralelo a uno de sus tres lados, el nuevo triángulo generado será semejante al primero.

Al triángulo ΔABC se le traza el segmento A’C’. Aparece un nuevo triángulo ΔA’BC’ semejante al primero. Tienen sus tres ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

De acuerdo con el teorema, se verifica que:

Esa razón de proporcionalidad se mantiene entre dos lados de un mismo triángulo y también entre los lados correspondientes del otro.

Ejemplo:

Calcular la altura del edificio:

La relación que se puede establecer es la siguiente.

Otro ejemplo: En el triángulo ABC,  DE || BC , calcule el segmento AE

Aplicando el teorema de Thales se tiene que:

OTRA VARIANTE DEL PRIMER TEOREMA DE TALES

Si dos rectas cualquiera son cortadas por una serie de rectas paralelas (l1, l2, l3), los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes formadas en la otra recta.

Donde se verifica la razón de proporcionalidad que se ha visto en la primera formulación de este teorema:

EJEMPLO

Sabiendo que a, b y c son paralelas y que AB = 9 cm, BC = 12 cm y A’B’ = 7,5 cm, hallar la longitud del segmento B’C’.

Aplicando el teorema de Thales

Otro ejemplo:  En la figura L1 // L2 // L3   ,  T y S son transversales, calcula el segmento CD

Ejercicios

1. Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes perpendiculares al plano: ED que mide 2m y BC que mide 6m. Si la distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED?

2. Calcular la altura de un edificio, sabiendo que su sombra mide 14,4 m y que, en ese mismo instante, un poste vertical de 3 m proyecta una sombra de 2,4 m.

3. Una torre tiene una sombra de 12 metros al mediodía, mientras que una botella de 25 cm proyecta una sombra de 5 cm a la misma hora ¿Cuánto mide la torre?

4. Una señal de tránsito de 2 metros de altura proyecta una sombra de 10 metros, al mismo tiempo una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 metros. Calcular la altura de la pared.

5. La figura muestra las escaleras que usa Francisco para pintar las paredes de su casa. Calcula la distancia de apertura en el segundo escalón, teniendo en cuanta los datos que se muestran.