Teorema de Thales

TEOREMA    DE THALES

Los Teoremas en matemáticas hacen referencia a aquellas afirmaciones que pueden ser demostradas como verdaderas dentro de un marco lógico. Generalmente, los teoremas están compuestos por un número de condiciones que pueden ser enumeradas a las cuales se les llama respuestas. Enseguida a estas aparecerá la conclusión matemática, la cual será siempre verdadera en las condiciones del trabajo en cuestión, es decir, ante todo en el contenido informativo del teorema, lo que se establecerá es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis, o conclusión del trabajo.

El Primer Teorema de Tales enuncia que si en un triángulo dado se traza un segmento paralelo a uno de sus tres lados, el nuevo triángulo generado será semejante al primero.

Al triángulo ΔABC se le traza el segmento A’C’. Aparece un nuevo triángulo ΔA’BC’ semejante al primero. Tienen sus tres ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

De acuerdo con el teorema, se verifica que:

Esa razón de proporcionalidad se mantiene entre dos lados de un mismo triángulo y también entre los lados correspondientes del otro.

Ejemplo:

Calcular la altura del edificio:

La relación que se puede establecer es la siguiente.

Otro ejemplo: En el triángulo ABC,  DE || BC , calcule el segmento AE

Aplicando el teorema de Thales se tiene que:

OTRA VARIANTE DEL PRIMER TEOREMA DE TALES

Si dos rectas cualquiera son cortadas por una serie de rectas paralelas (l1, l2, l3), los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes formadas en la otra recta.

Donde se verifica la razón de proporcionalidad que se ha visto en la primera formulación de este teorema:

EJEMPLO

Sabiendo que a, b y c son paralelas y que AB = 9 cm, BC = 12 cm y A’B’ = 7,5 cm, hallar la longitud del segmento B’C’.

Aplicando el teorema de Thales

Otro ejemplo:  En la figura L1 // L2 // L3   ,  T y S son transversales, calcula el segmento CD

Ejercicios

1. Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes perpendiculares al plano: ED que mide 2m y BC que mide 6m. Si la distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED?

2. Calcular la altura de un edificio, sabiendo que su sombra mide 14,4 m y que, en ese mismo instante, un poste vertical de 3 m proyecta una sombra de 2,4 m.

3. Una torre tiene una sombra de 12 metros al mediodía, mientras que una botella de 25 cm proyecta una sombra de 5 cm a la misma hora ¿Cuánto mide la torre?

4. Una señal de tránsito de 2 metros de altura proyecta una sombra de 10 metros, al mismo tiempo una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 metros. Calcular la altura de la pared.

5. La figura muestra las escaleras que usa Francisco para pintar las paredes de su casa. Calcula la distancia de apertura en el segundo escalón, teniendo en cuanta los datos que se muestran.