Transformaciones en el plano

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

La transformación geométrica son una operación u operaciones que permiten deducir una nueva figura (imagen) de la dada originalmente.

Algunas transformaciones tienen la propiedad de ser involutivas, es decir, la doble aplicación de la misma transformación genera el elemento original.

Podemos clasificar las transformaciones en directas, cuando las figuras conservan el sentido y orden en el plano orientado, e inversa, cuando los sentidos de las dos figuras son contrarios.

Otra clasificación dada a las transformaciones se fundamenta en el aspecto de la imagen respecto a la figura original:

Isométricas, cuando conservan las dimensiones y ángulos. Se denominan también movimientos rígidos. Como las simetrías axial y central, la traslación y la rotación.

Isomórficas, cuando conservan la forma de la figura original (los ángulos), pero existe una proporcionalidad entre las dimensiones de las dos figuras, por ejemplo, la homotecia.

Anamórficas, cuando cambia la forma de la figura original, por ejemplo, la inversión.

Las transformaciones isométricas

son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la imagen son semejantes, más aún, congruentes.

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), igual medida.

Existen tres tipos: traslación, simetría y rotación.

Traslación: es una isometría que mueve cada punto de la figura a una distancia dada, en una dirección específica a lo largo de un vector (a,b). La coordenada a del vector indica el movimiento horizontal, si es positivo mueve a la derecha y si es negativo a la izquierda. La coordenada b del vector indica el movimiento vertical; si es positivo, mueve hacia arriba y, si es negativo, hacia abajo.

Formalmente, una traslación dada por el vector (a,b), es una función del plano, al plano tal que a todo punto (x,y) , le asigna el punto (x+a, y+b).

Rotación: es una transformación del plano determinada por mantener un punto fijo, llamado centro, y rotar el plano alrededor de este punto una cierta cantidad en una dirección específica.

Esta cantidad se denomina ángulo de rotación y, usualmente, se toma su medida en grados, teniendo en cuenta que si es positivo, se rota en sentido contrario a las manecillas del reloj, y si es negativo, en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

Es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, éste permanece a una distancia constante del centro.

Una rotación de 360° alrededor de un punto, moverá cualquier punto de la figura sobre sí mismo. Ésta es llamada la transformación identidad.

Elementos que afectan a la rotación en el plano cartesiano

Ángulo de rotación

Para que se realice una rotación en el plano cartesiano es necesario que se obtenga el ángulo al que la figura poligonal será girada.

Centro de rotación

Es necesario precisar un punto que haga de referencia para que se pueda producir un movimiento de rotación en el plano cartesiano.

Sentido de la rotación

Una vez se hayan obtenido los grados a los que se vaya a girar la figura y el punto que hará de referencia para el giro, es necesario conocer si este movimiento se dirigirá en el mismo sentido que las agujas del reloj o si lo hará en el sentido opuesto de las agujas del reloj.

Simetría: es la correspondencia exacta en la disposición regular de los puntos de una figura con relación a un punto (centro de simetría), una recta (eje de simetría) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.

Simetría central: es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a. El punto y su imagen están a igual distancia del centro de simetría.

b. El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

Según esto, una simetría central es igual que una rotación de 180° .

Simetría axial: es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto, que cumple con las siguientes condiciones:

a. La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b. El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

Esta simetría es conocida mayormente con el nombre de reflexión. En la simetría axial se conservan las distancias, pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA’.

En nuestra vida cotidiana, al igual que en la naturaleza, nos encontramos con multitud de situaciones en las que está presente la simetría... si nos fijamos en nuestro cara veremos que ojos, nariz, orejas, boca son simétricas respecto a un eje imaginario. El cuerpo de las mariposas es uno de los más bellos ejemplos de simetría en la naturaleza, así como los paisajes que se reflejan en la superficie del agua de lagos.

Teselados del plano: un plano es teselado si se cubre completamente con repeticiones de figuras sin sobreponerlas ni dejar huecos. Para lograr teselar un plano debemos usar las transformaciones vistas anteriormente.

Ejercicios

1. Calcula las coordenadas de los vértices de una figura, dado el vector de traslación 𝑣⃗ = (1,2) y los vértices de la imagen A’(–2, –3), B’(2, –1) y C’(0, 6). Dibuje ambas figuras en un plano cartesiano.

2. Si un triángulo cuyos vértices son D(5, 2), E(7, 10) y F(9, 0) se traslada según el vector 𝑣⃗, siendo el punto D’(8, 13) la imagen del punto D, ¿cuáles son las coordenadas del vector de traslación? ¿Y cuáles son las de los vértices de los puntos E’ y F’?. Dibuje el triángulo y su traslación.

3. Ubique en el plano Cartesiano el polígono J (-2,-2) K (-4,-1) L (-5,-3) M (-4,-4) P (-1,-5) y realice una traslación de 3 unidades hacia abajo y 5 unidades hacia la izquierda.

4. Determine las de coordenadas para mostrar una reflexión en el eje y de la figura (-3, 1) (0, 3) (1, 2)

5. Determine las de coordenadas para mostrar una reflexión en el eje x de la figura (-3, 6) (-2, 3) (2, 3) (3, 6)

5. Dado un cuadrilátero ABCD con vértices A(2,2),B(3,6), C(6,7), D(7,1), construya la reflexión respecto al eje de x y al eje de y